Упр.12.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки: а) $$x=0$$; б) $$x=\frac{1}{2}$$; в) $$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; г) $$x=1$$.

На числовой окружности координата $$x$$ точки равна абсциссе этой точки. Для каждого значения $$x$$ находим все соответствующие точки окружности и записываем все углы $$t$$, которым они соответствуют.

1. $$x=0$$

   Подходящие точки: $$M_1(0;1)$$ и $$M_2(0;-1)$$, то есть $$t=\frac{\pi}{2}$$ и $$t=\frac{3\pi}{2}$$.

   Следовательно,

   $$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Или короче:

   $$t=\pm \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$x=\frac{1}{2}$$

   Подходящие точки: $$M_1\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ и $$M_2\left(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$, то есть $$t=\frac{\pi}{3}$$ и $$t=\frac{5\pi}{3}$$.

   Следовательно,

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Или короче:

   $$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Подходящие точки: $$M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$$ и $$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)$$, то есть $$t=\frac{5\pi}{6}$$ и $$t=\frac{7\pi}{6}$$.

   Следовательно,

   $$t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Или короче:

   $$t=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$x=1$$

   Подходящая точка одна: $$M(1;0)$$, ей соответствует угол $$t=2\pi$$, а значит

   $$t=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ:

а) $$t=\pm \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
б) $$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
в) $$t=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
г) $$t=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$