Упр.119 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите число членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_1=6$$, $$q=3$$, $$S_n=726$$.
   б) Найдите число членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_1=128$$, $$q=\frac{1}{2}$$, $$b_n=\frac{1}{4}$$.

а) Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Подставим данные:

$$726=\frac{6(3^n-1)}{3-1}=\frac{6(3^n-1)}{2}.$$

Упростим:

$$726\cdot \frac{2}{6}=3^n-1,$$

$$242=3^n-1,$$

$$3^n=243=3^5.$$

Значит, $$n=5$$.

б) Используем формулу $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$:

$$\frac14=128\cdot \left(\frac12\right)^{n-1}.$$

Тогда

$$\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac{1}{4\cdot 128}=\frac{1}{512}=\left(\frac12\right)^9.$$

Следовательно,

$$n-1=9,$$

$$n=10.$$

Ответ: а) $$5$$; б) $$10$$.