Упр.11.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Можно ли найти на единичной окружности точку E с указанной ниже длиной дуги AE? Если да, то укажите четверть, в которой расположена точка E: а) $$AE=2$$; в) $$AE=6{,}3$$.

Для единичной окружности длина дуги численно равна соответствующему центральному углу в радианах. Поэтому сравниваем данную длину с числами $$\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi.$$

1. $$AE=2.$$

   Так как $$\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57,\quad \pi\approx 3{,}14,$$ то

   $$\frac{\pi}{2}<2<\pi.$$

   Значит, точка $$E$$ расположена во II четверти.

2. $$AE=\sqrt{8\pi}.$$

   Оценим:

   $$\sqrt{8\pi}\approx \sqrt{25{,}12}\approx 5.$$

   При этом

   $$\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71,\quad 2\pi\approx 6{,}28,$$

   следовательно,

   $$\frac{3\pi}{2}<\sqrt{8\pi}<2\pi.$$

   Значит, точка $$E$$ расположена в IV четверти.

3. $$AE=6{,}3.$$

   Так как

   $$2\pi\approx 6{,}28,$$

   то $$6{,}3>2\pi.$$

   Следовательно, на единичной окружности такую точку найти нельзя.

4. $$AE=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = 2+\sqrt{3}.$$

   Тогда

   $$2+\sqrt{3}\approx 2+1{,}73=3{,}73.$$

   Сравним:

   $$\pi\approx 3{,}14,\quad \frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71,$$

   поэтому

   $$\pi<\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}<\frac{3\pi}{2}.$$

   Значит, точка $$E$$ расположена в III четверти.

Ответ

а) во II четверти; б) в IV четверти; в) нет; г) в III четверти.