Упр.11.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Первая серия чисел:

$$t=-\frac{\pi}{6}+\pi(2n+1),\qquad t=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi n}{5}.$$

Если $$n=5k+2,$$ то

$$t_1=-\frac{\pi}{6}+\pi(2(5k+2)+1)=-\frac{\pi}{6}+10\pi k+5\pi=\frac{5\pi}{6}+10\pi k,$$

$$t_2=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi(5k+2)}{5} =\frac{\pi}{30}+2\pi k+\frac{4\pi}{5} =\frac{25\pi}{30}+2\pi k=\frac{5\pi}{6}+2\pi k.$$

Значит, обе формулы задают одну и ту же точку.

Все значения чисел:

$$\begin{aligned} n=5k:&\quad t_2=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi(5k)}{5}=\frac{\pi}{30}+2\pi k=\frac{\pi}{30};\\ n=5k+1:&\quad t_2=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi(5k+1)}{5}=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi}{5}+2\pi k=\frac{13\pi}{30};\\ n=5k+2:&\quad t_2=\frac{5\pi}{6};\\ n=5k+3:&\quad t_2=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi(5k+3)}{5}=\frac{37\pi}{30};\\ n=5k+4:&\quad t_2=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi(5k+4)}{5}=\frac{49\pi}{30}. \end{aligned}$$

Итак, общая формула:

$$t=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi n}{5}.$$

б) Первая серия чисел:

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad t=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad t=\pi n.$$

Все значения чисел:

$$\begin{aligned} n=2k:&\quad t_1=\frac{\pi}{3},\quad t_2=\frac{5\pi}{3},\quad t_3=0;\\ n=2k+1:&\quad t_1=\frac{2\pi}{3},\quad t_2=\frac{4\pi}{3},\quad t_3=\pi. \end{aligned}$$

Общая формула чисел:

$$t=\frac{\pi k}{3}.$$

в) Первая серия чисел:

$$t=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad t=\frac{\pi}{4}\pm\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Все значения чисел:

$$\begin{aligned} n=2k:&\quad t_1=\frac{7\pi}{4},\quad t_{21}=\frac{\pi}{12},\quad t_{22}=\frac{5\pi}{12};\\ n=2k+1:&\quad t_1=\frac{3\pi}{4},\quad t_{21}=\frac{13\pi}{12},\quad t_{22}=\frac{17\pi}{12}. \end{aligned}$$

Общая формула чисел:

$$t=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

г) Первая серия чисел:

$$t=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad t=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad t=\pi n.$$

Все значения чисел:

$$\begin{aligned} n=2k:&\quad t_{11}=\frac{7\pi}{4},\quad t_{12}=\frac{\pi}{4},\quad t_2=\frac{\pi}{2},\quad t_3=0;\\ n=2k+1:&\quad t_{11}=\frac{3\pi}{4},\quad t_{12}=\frac{5\pi}{4},\quad t_2=\frac{3\pi}{2},\quad t_3=\pi. \end{aligned}$$

Общая формула чисел:

$$t=\frac{\pi k}{4}.$$

Ответ: а) $$t=\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi n}{5}$$; б) $$t=\frac{\pi k}{3}$$; в) $$t=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$; г) $$t=\frac{\pi k}{4}$$.