Упр.11.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Третья четверть разделена точкой $$M$$ в отношении $$2:3$$, первая — точкой $$P$$ в отношении $$1:5$$. Найдите длину дуги: а) $$CM$$; б) $$AP$$; в) $$PM$$; г) $$MP$$.

Пусть длина всей окружности равна $$\pi$$, тогда:

• дуга $$CD$$ соответствует $$\frac{1}{2}$$ окружности, значит $$CD=\frac{\pi}{2}$$;
• дуга $$AB$$ соответствует $$\frac{1}{2}$$ окружности, значит $$AB=\frac{\pi}{2}$$.

Точка $$M$$ делит третью четверть в отношении $$2:3$$, а точка $$P$$ — первую четверть в отношении $$1:5$$.

а) Найдём длину дуги $$CM$$:

$$CM=CD\cdot \frac{2}{2+3} =\frac{\pi}{2}\cdot \frac{2}{5} =\frac{\pi}{5}.$$

б) Найдём длину дуги $$AP$$:

$$AP=AB\cdot \frac{1}{1+5} =\frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{6} =\frac{\pi}{12}.$$

в) Найдём длину дуги $$PM$$:

$$PB=AB\cdot \frac{5}{1+5} =\frac{\pi}{2}\cdot \frac{5}{6} =\frac{5\pi}{12},$$
$$BC=\frac{\pi}{2},$$
$$CM=\frac{\pi}{5}.$$
Тогда
$$PM=PB+BC+CM =\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{5} =\frac{25\pi+30\pi+12\pi}{60} =\frac{67\pi}{60}.$$

г) Найдём длину дуги $$MP$$:

$$MD=CD\cdot \frac{3}{2+3} =\frac{\pi}{2}\cdot \frac{3}{5} =\frac{3\pi}{10},$$
$$DA=\frac{\pi}{2},$$
$$AP=\frac{\pi}{12}.$$
Тогда
$$MP=MD+DA+AP =\frac{3\pi}{10}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12} =\frac{18\pi+30\pi+5\pi}{60} =\frac{53\pi}{60}.$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{5}$$; б) $$\frac{\pi}{12}$$; в) $$\frac{67\pi}{60}$$; г) $$\frac{53\pi}{60}$$.