Упр.11.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки.

а) $$t=2\pi n,\quad t=\pi+2\pi n.$$

При $$n\in\mathbb{Z}$$ получаем:

$$t=2\pi n=0+2\pi n=0,$$

$$t=\pi+2\pi n=\pi.$$

Общая формула для всех таких чисел:

$$t=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$M_1(0),\ M_2(\pi),\ t=\pi k.$$

б) $$t=\pi n,\quad t=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Если $$n=2k,$$ то

$$t=\pi(2k)=2\pi k=0+2\pi k=0,$$

$$t=\frac{\pi}{2}+\pi(2k)=\frac{\pi}{2}+2\pi k=\frac{\pi}{2}.$$

Если $$n=2k+1,$$ то

$$t=\pi(2k+1)=\pi+2\pi k=\pi,$$

$$t=\frac{\pi}{2}+\pi(2k+1)=\frac{\pi}{2}+2\pi k+\pi=\frac{3\pi}{2}.$$

Общая формула:

$$t=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$M_1(0),\ M_2\!\left(\frac{\pi}{2}\right),\ M_3(\pi),\ M_4\!\left(\frac{3\pi}{2}\right),\ t=\frac{\pi k}{2}.$$

в) $$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

При $$n\in\mathbb{Z}$$ получаем:

$$t=\frac{\pi}{2},\qquad t=\frac{3\pi}{2}.$$

Общая формула:

$$t=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$M_1\!\left(\frac{\pi}{2}\right),\ M_2\!\left(\frac{3\pi}{2}\right),\ t=\frac{\pi}{2}+\pi k.$$

г) $$t=\pi n,\quad t=\frac{\pi n}{2}.$$

Если $$n=2k,$$ то

$$t=\frac{\pi(2k)}{2}=\pi k,$$

то есть обе формулы задают одну и ту же точку $$M_1(0).$$

Если $$n=4k,$$ то

$$t=\frac{\pi(4k)}{2}=2\pi k=0,$$

если $$n=4k+1,$$ то

$$t=\frac{\pi(4k+1)}{2}=2\pi k+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2},$$

если $$n=4k+2,$$ то

$$t=\frac{\pi(4k+2)}{2}=2\pi k+\pi=\pi,$$

если $$n=4k+3,$$ то

$$t=\frac{\pi(4k+3)}{2}=2\pi k+\frac{3\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}.$$

Общая формула:

$$t=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$M_1(0),\ M_2\!\left(\frac{\pi}{2}\right),\ M_3(\pi),\ M_4\!\left(\frac{3\pi}{2}\right),\ t=\frac{\pi k}{2}.$$