Упр.11.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Длина каждой наименьшей дуги:
$$l=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.$$
а) $$QA \cup NC$$
Первая дуга:
$$q=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad a=2\pi n,$$
откуда
$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<t<2\pi n.$$
Вторая дуга:
$$n=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad c=\pi+2\pi n,$$
откуда
$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<t<\pi+2\pi n.$$
Объединяя, получаем:
$$-\frac{\pi}{4}+\pi k<t<\pi k.$$
б) $$AN \cup CQ$$
Первая дуга:
$$a=2\pi n,\qquad n=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
откуда
$$2\pi n<t<\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
Вторая дуга:
$$c=\pi+2\pi n,\qquad q=\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,$$
откуда
$$\pi+2\pi n<t<\frac{7\pi}{4}+2\pi n.$$
Следовательно,
$$\pi k<t<\frac{3\pi}{4}+\pi k.$$
в) $$MN \cup PQ$$
Первая дуга:
$$m=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
откуда
$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
Вторая дуга:
$$p=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad q=\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,$$
откуда
$$\frac{5\pi}{4}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{4}+2\pi n.$$
Итак,
$$\frac{\pi}{4}+\pi k<t<\frac{3\pi}{4}+\pi k.$$
г) $$AM \cup BN \cup CP \cup DQ$$
Все дуги имеют одинаковую длину:
$$l=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.$$
Расстояние между начальной и конечной точками соседних дуг одинаково и равно
$$d=2l=\frac{\pi}{2}.$$
Значит,
$$\frac{\pi n}{2}<t<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
Ответ:
а) $$-\frac{\pi}{4}+\pi k<t<\pi k$$; б) $$\pi k<t<\frac{3\pi}{4}+\pi k$$; в) $$\frac{\pi}{4}+\pi k<t<\frac{3\pi}{4}+\pi k$$; г) $$\frac{\pi n}{2}<t<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$.
