Упр.11.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите все числа $$t$$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге или объединению дуг (рис. 46): а) AB; б) AB ∪ CD; в) BD; г) BC ∪ DA.

а) Концы дуги: $$A=2\pi n,\qquad B=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Так как дуга открытая, получаем

$$2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Объединение дуг $$AB$$ и $$CD$$:

$$2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

или

$$\pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Объединяя эти промежутки, удобно записать так:

$$\pi n<t<\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) Для дуги $$BD$$ имеем

$$B=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad D=\frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) Объединение дуг $$BC$$ и $$DA$$:

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\pi+2\pi n$$

или

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Это можно записать короче:

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t<\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$;

б) $$\pi n<t<\frac{\pi}{2}+\pi n$$;

в) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$;

г) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t<\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.