Упр.11.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей (рис. 47). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки: а) M и K; б) P и E; в) P и L; г) M и F.

Длина каждой дуги числовой окружности равна

$$l=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}.$$

Точки, симметричные относительно начала отсчёта, задаются формулой $$t=\alpha+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$ а точки, отличающиеся на один и тот же шаг окружности, — формулой $$t=\alpha+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

1. Точки $$M$$ и $$K$$ соответствуют числам

   $$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\pi+\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi(2n+1),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, для всех таких чисел

   $$t=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. Точки $$P$$ и $$E$$ соответствуют числам

   $$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{2\pi}{3}+\pi(2n+1),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$t=\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. Точки $$P$$ и $$L$$ соответствуют числам

   $$t=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3} \quad \text{и} \quad t=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{2\pi}{3}.$$

   Значит,

   $$t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. Точки $$M$$ и $$F$$ соответствуют числам

   $$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$t=\frac{\pi}{6}+\pi k$$; б) $$t=\frac{2\pi}{3}+\pi k$$; в) $$t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k$$; г) $$t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k$$, $$k\in\mathbb Z$$.