Упр.11 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(\frac{7}{x+2}+\frac{5}{x^2-5x+6}-\frac{2x}{x^2-4}\right):\frac{x}{2x-1}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \qquad x^2-4=(x-2)(x+2).$$

Тогда

$$\frac{7}{x+2}+\frac{5}{(x-2)(x-3)}-\frac{2x}{(x-2)(x+2)}$$

Приведём к общему знаменателю $$(x+2)(x-2)(x-3)$$:

$$\frac{7(x-2)(x-3)+5(x+2)-2x(x-3)}{(x+2)(x-2)(x-3)}.$$

Числитель:

$$7(x-2)(x-3)+5(x+2)-2x(x-3)=5x^2-24x+32.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{7}{x+2}+\frac{5}{x^2-5x+6}-\frac{2x}{x^2-4}\right):\frac{x}{2x-1} =\frac{5x^2-24x+32}{(x+2)(x-2)(x-3)}\cdot\frac{2x-1}{x}.$$

Итак,

$$\frac{(5x^2-24x+32)(2x-1)}{x(x+2)(x-2)(x-3)}.$$

ОДЗ: $$x\ne -2,\; x\ne 2,\; x\ne 3,\; x\ne \frac12,\; x\ne 0.$$

б) $$\left(\frac{x}{x+1}+\frac{10}{x^2-3x-4}+\frac{3x}{x^2-4x+3}\right):\frac{2x+1}{3}$$

Разложим знаменатели:

$$x^2-3x-4=(x-4)(x+1), \qquad x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Тогда

$$\frac{x}{x+1}+\frac{10}{(x-4)(x+1)}+\frac{3x}{(x-1)(x-3)}.$$

Приведём к общему знаменателю $$(x+1)(x-4)(x-1)(x-3)$$:

$$\frac{x(x-4)(x-1)(x-3)+10(x-1)(x-3)+3x(x+1)(x-4)}{(x+1)(x-4)(x-1)(x-3)}.$$

После упрощения числитель равен

$$x^4-5x^3+2x^2+17x-30.$$

Деление на $$\frac{2x+1}{3}$$ заменяем умножением на $$\frac{3}{2x+1}$$:

$$\left(\frac{x}{x+1}+\frac{10}{x^2-3x-4}+\frac{3x}{x^2-4x+3}\right):\frac{2x+1}{3} =\frac{3\left(x^4-5x^3+2x^2+17x-30\right)}{(2x+1)(x+1)(x-4)(x-1)(x-3)}.$$

ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne 4,\; x\ne 1,\; x\ne 3,\; x\ne -\frac12.$$

в) $$\left(\frac{3}{x-3}+\frac{4}{x^2-5x+6}-\frac{2x}{x-2}\right):\frac{2x+1}{3}$$

Разложим:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Тогда

$$\frac{3}{x-3}+\frac{4}{(x-2)(x-3)}-\frac{2x}{x-2}.$$

Приведём к общему знаменателю $$(x-2)(x-3)$$:

$$\frac{3(x-2)+4-2x(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{-2x^2+9x-2}{(x-2)(x-3)}.$$

Делим на $$\frac{2x+1}{3}$$:

$$\left(\frac{3}{x-3}+\frac{4}{x^2-5x+6}-\frac{2x}{x-2}\right):\frac{2x+1}{3} =\frac{3(-2x^2+9x-2)}{(2x+1)(x-2)(x-3)}.$$

ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne 3,\; x\ne -\frac12.$$

Ответ:

а) $$\frac{(5x^2-24x+32)(2x-1)}{x(x+2)(x-2)(x-3)}$$, $$x\ne -2,2,3,\frac12,0$$;

б) $$\frac{3\left(x^4-5x^3+2x^2+17x-30\right)}{(2x+1)(x+1)(x-4)(x-1)(x-3)}$$, $$x\ne -1,4,1,3,-\frac12$$;

в) $$\frac{3(-2x^2+9x-2)}{(2x+1)(x-2)(x-3)}$$, $$x\ne 2,3,-\frac12$$.