Упр.11.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

г) $$t=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

При $$n=0$$ получаем:

$$t_1=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11\pi}{6}, \qquad t_2=\frac{\pi}{6}.$$

Следовательно, точки:

$$M_1\left(\frac{11\pi}{6}\right), \quad M_2\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

б) $$t=\frac{2\pi n}{3}.$$

Рассмотрим остатки при делении $$n$$ на $$3$$:

$$\begin{aligned} n&=3k \Rightarrow t=\frac{2\pi(3k)}{3}=2\pi k=0,\\ n&=3k+1 \Rightarrow t=\frac{2\pi(3k+1)}{3}=2\pi k+\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},\\ n&=3k+2 \Rightarrow t=\frac{2\pi(3k+2)}{3}=2\pi k+\frac{4\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}. \end{aligned}$$

Ответ: $$M_1(0), \; M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right), \; M_3\left(\frac{4\pi}{3}\right).$$

в) $$t=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Если $$n=2k$$, то

$$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,$$

откуда

$$t_1=\frac{\pi}{3}, \qquad t_2=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}.$$

Если $$n=2k+1$$, то

$$t=\pm \frac{\pi}{3}+\pi(2k+1)=\pi \pm \frac{\pi}{3},$$

откуда

$$t_3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}, \qquad t_4=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.$$

Ответ: $$M_1\left(\frac{\pi}{3}\right), \; M_2\left(\frac{5\pi}{3}\right), \; M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right), \; M_4\left(\frac{4\pi}{3}\right).$$

г) $$t=\frac{\pi n}{3}.$$

Рассмотрим остатки при делении $$n$$ на $$6$$:

$$\begin{aligned} n&=6k \Rightarrow t=\frac{\pi(6k)}{3}=2\pi k=0,\\ n&=6k+1 \Rightarrow t=\frac{\pi(6k+1)}{3}=2\pi k+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3},\\ n&=6k+2 \Rightarrow t=\frac{\pi(6k+2)}{3}=2\pi k+\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},\\ n&=6k+3 \Rightarrow t=\frac{\pi(6k+3)}{3}=2\pi k+\pi=\pi,\\ n&=6k+4 \Rightarrow t=\frac{\pi(6k+4)}{3}=2\pi k+\frac{4\pi}{3}=\frac{4\pi}{3},\\ n&=6k+5 \Rightarrow t=\frac{\pi(6k+5)}{3}=2\pi k+\frac{5\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}. \end{aligned}$$

Ответ: $$M_1(0), \; M_2\left(\frac{\pi}{3}\right), \; M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right), \; M_4(\pi), \; M_5\left(\frac{4\pi}{3}\right), \; M_6\left(\frac{5\pi}{3}\right).$$