Упр.105 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=x^2-5x+6$$. При каком значении $$x$$ выполняется равенство $$f(x+1)=f(x-3)$$?
   б) Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{1}{x}$$. При каком значении $$x$$ выполняется равенство $$f(x^2-1)=f(3x^2-3x)$$?

а) Найдём значения функций:

$$f(x+1)=(x+1)^2-5(x+1)+6=x^2+2x+1-5x-5+6=x^2-3x+2,$$

$$f(x-3)=(x-3)^2-5(x-3)+6=x^2-6x+9-5x+15+6=x^2-11x+30.$$

Приравняем:

$$x^2-3x+2=x^2-11x+30,$$

$$-3x+2=-11x+30,$$

$$8x=28,$$

$$x=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}=3{,}5.$$

б) Для функции $$f(x)=\frac{1}{x}$$ имеем:

$$f(x^2-1)=\frac{1}{x^2-1}, \qquad f(3x^2-3x)=\frac{1}{3x^2-3x}.$$

Область допустимых значений:

$$x^2-1\ne 0,\qquad 3x^2-3x\ne 0,$$

откуда $$x\ne \pm 1,\; x\ne 0.$$

Теперь приравняем:

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{3x^2-3x},$$

$$x^2-1=3x^2-3x,$$

$$2x^2-3x+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,$$

$$x=\frac{3\pm 1}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad x_2=\frac{4}{4}=1.$$

Значение $$x=1$$ не подходит, так как не входит в область допустимых значений. Поэтому

$$x=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

Ответ: а) $$x=3{,}5$$; б) $$x=0{,}5$$.