Упр.104 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Постройте график функции $$y=f(x)$$ и опишите её свойства, если:
а) $$f(x)=x^2+2$$, если $$1\leq x\leq 2$$; $$f(x)=\frac{6}{x}$$, если $$2
а) Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} x^2+2, & 1\le x\le 2,\\ \dfrac{6}{x}, & 2<x\le 6. \end{cases}$$
На отрезке $$[1;2]$$ строим часть параболы $$y=x^2+2$$. Для опорных точек:
$$f(1)=1^2+2=3,\qquad f(2)=2^2+2=6.$$
На промежутке $$(2;6]$$ строим часть гиперболы $$y=\dfrac{6}{x}$$. Для опорных точек:
$$f(2)=3,\qquad f(3)=2,\qquad f(6)=1.$$
Точка $$(2;3)$$ не входит в график этой ветви, так как $$x>2$$, а точка $$(2;6)$$ принадлежит первой ветви.
Свойства функции:
- $$D(f)=[1;6]$$;
- $$E(f)=[1;6]$$;
- функция возрастает на $$[1;2]$$ и убывает на $$(2;6]$$;
- функция непрерывна на $$[1;2)$$ и $$(2;6]$$, в точке $$x=2$$ имеет разрыв.
б) Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{x+1}, & x<-1,\\ -3x^2+3, & -1\le x\le 2. \end{cases}$$
Для ветви $$y=-\dfrac{4}{x+1}$$ при $$x<-1$$ возьмём опорные точки:
$$f(-5)=1,\qquad f(-3)=2,\qquad f(-2)=4.$$
Для ветви $$y=-3x^2+3$$ на отрезке $$[-1;2]$$:
$$f(-1)=0,\qquad f(0)=3,\qquad f(1)=0,\qquad f(2)=-9.$$
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;2]$$;
- $$E(f)=[-9;+\infty)$$;
- функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$[-1;0]$$, убывает на $$[0;2]$$;
- функция непрерывна на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;2]$$, в точке $$x=-1$$ имеет разрыв.
