Упр.101 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: а) $$y=|x|$$ на отрезке $$[-\sqrt{2};1]$$; б) $$y=-|x+4|$$ на отрезке $$[-\sqrt{2};1]$$; в) $$y=-|x|+5$$ на отрезке $$[-1;\sqrt{3}]$$; г) $$y=|x-1|-3$$ на отрезке $$[2;\sqrt{5}]$$.
а) $$y=|x|$$ на отрезке $$[-\sqrt{2};\,1]$$.
Вершина графика функции находится при $$x=0$$. Найдём значения на концах отрезка и в вершине:
$$y(-\sqrt{2})=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2},$$
$$y(0)=|0|=0,$$
$$y(1)=|1|=1.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=\sqrt{2}.$$
б) $$y=-|x+4|$$ на отрезке $$[-\sqrt{2};\,1]$$.
Вершина графика: $$x+4=0,$$ откуда $$x=-4.$$
Считаем значения функции на концах отрезка:
$$y(-\sqrt{2})=-|-\sqrt{2}+4|=-(4-\sqrt{2})=\sqrt{2}-4,$$
$$y(1)=-|1+4|=-5.$$
Значит, $$y_{\min}=-5,$$ $$y_{\max}=\sqrt{2}-4.$$
в) $$y=-|x|+5$$ на отрезке $$[-1;\,\sqrt{3}]$$.
Вершина графика: $$x=0.$$
Найдём значения функции в вершине и на концах отрезка:
$$y(-1)=-|-1|+5=-1+5=4,$$
$$y(0)=-|0|+5=5,$$
$$y(\sqrt{3})=-|\sqrt{3}|+5=5-\sqrt{3}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=5-\sqrt{3},$$ $$y_{\max}=5.$$
г) $$y=|x-1|-3$$ на отрезке $$[2;\,\sqrt{5}]$$.
Вершина графика: $$x-1=0,$$ откуда $$x=1.$$
Вычислим значения функции на концах отрезка:
$$y(2)=|2-1|-3=1-3=-2,$$
$$y(\sqrt{5})=|\sqrt{5}-1|-3=\sqrt{5}-1-3=\sqrt{5}-4.$$
Значит, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=\sqrt{5}-4.$$
Ответ: а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=\sqrt{2}$$; б) $$y_{\min}=-5,$$ $$y_{\max}=\sqrt{2}-4$$; в) $$y_{\min}=5-\sqrt{3},$$ $$y_{\max}=5$$; г) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=\sqrt{5}-4$$.
