Упр.10.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\frac{3}{x-1}$$

Для данной функции удобно взять несколько значений $$x$$ и вычислить соответствующие значения $$y$$:

Найдём обратную функцию:

$$x=\frac{3}{y-1}$$

$$x(y-1)=3$$

$$xy-x=3$$

$$xy=3+x$$

$$y=\frac{3+x}{x}=1+\frac{3}{x}$$

Тогда для обратной функции можно взять точки:

Графики функций симметричны относительно прямой $$y=x$$.

Ответ: $$y=\frac{3+x}{x}$$

б) $$y=\frac{x+7}{2x-5}$$

Преобразуем выражение:

$$y=\frac{x+7}{2x-5}=\frac12\cdot\frac{2x-5+19}{2x-5}=\frac12+\frac{19}{4x-10}$$

Значит, асимптоты: $$x=\frac52$$ и $$y=\frac12$$.

Для построения возьмём несколько точек:

Найдём обратную функцию:

$$x=\frac{y+7}{2y-5}$$

$$x(2y-5)=y+7$$

$$2xy-5x=y+7$$

$$2xy-y=7+5x$$

$$y(2x-1)=7+5x$$

$$y=\frac{7+5x}{2x-1}$$

Для неё асимптоты: $$x=\frac12$$ и $$y=\frac52$$.

Ответ: $$y=\frac{7+5x}{2x-1}$$

в) $$y=\frac{2}{x+4}$$

Преобразуем:

$$y=\frac{2}{x+4}=\frac{2-4x}{x}$$

Для исходной функции асимптоты: $$x=-4$$ и $$y=0$$.

Возьмём точки:

Найдём обратную функцию:

$$x=\frac{2}{y+4}$$

$$x(y+4)=2$$

$$xy+4x=2$$

$$xy=2-4x$$

$$y=\frac{2-4x}{x}=\frac{2}{x}-4$$

Для обратной функции асимптоты: $$x=0$$ и $$y=-4$$.

Ответ: $$y=\frac{2-4x}{x}$$

г) $$y=\frac{2x-1}{x+3}$$

Преобразуем:

$$y=\frac{2x-1}{x+3}=2-\frac{7}{x+3}$$

Следовательно, асимптоты: $$x=-3$$ и $$y=2$$.

Возьмём несколько точек:

Найдём обратную функцию:

$$x=\frac{2y-1}{y+3}$$

$$x(y+3)=2y-1$$

$$xy+3x=2y-1$$

$$2y-xy=3x+1$$

$$y(2-x)=3x+1$$

$$y=\frac{3x+1}{2-x}=-3-\frac{7}{x-2}$$

Для обратной функции асимптоты: $$x=2$$ и $$y=-3$$.

Ответ: $$y=\frac{3x+1}{2-x}$$