Упр.10.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Для функции, заданной табличным способом, укажите её область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте график обратной функции.

Подробный ответ

Функция имеет обратную на множестве $$X$$, если каждое своё значение она принимает только в одной точке из $$X$$.

Таблица:
$$x$$ $$1$$ $$2$$ $$5$$ $$7$$
$$y$$ $$3$$ $$4$$ $$7$$ $$3$$
Область определения: $$D(f)=\{1;2;5;7\}$$.
При $$x=1$$ и $$x=7$$ функция принимает одно и то же значение $$y=3$$, значит, обратной функции нет.
Таблица:
$$x$$ $$\frac13$$ $$\frac18$$ $$5$$ $$7$$
$$y$$ $$\frac15$$ $$\frac23$$ $$0,(6)$$ $$1,(4)$$
Так как $$0,(6)=\frac23$$ и $$1,(4)=\frac{13}{9}$$, получаем:
Область определения: $$D(f)=\left\{\frac18;\frac13;5;7\right\}$$.
При $$x=\frac18$$ и $$x=5$$ функция принимает одно и то же значение $$y=\frac23$$, следовательно, обратной функции нет.
Таблица:
$$x$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$7$$
$$y$$ $$5$$ $$8$$ $$9$$ $$1$$
Область определения: $$D(f)=\{1;2;3;7\}$$.
Все значения функции различны, значит, функция обратима.
Таблица значений обратной функции:
$$x$$ $$5$$ $$8$$ $$9$$ $$1$$
$$y$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$7$$
График обратной функции получается отражением точек исходной функции относительно прямой $$y=x$$.
Таблица:
$$x$$ $$-1$$ $$1$$ $$2$$ $$5$$
$$y$$ $$4$$ $$1,(7)$$ $$1\frac23$$ $$1$$
Так как $$1,(7)=\frac{16}{9}$$, имеем:
Область определения: $$D(f)=\{-1;1;2;5\}$$.
Все значения функции различны, значит, функция обратима.
Таблица значений обратной функции:
$$x$$ $$4$$ $$1\frac79$$ $$1\frac23$$ $$1$$
$$y$$ $$-1$$ $$1$$ $$2$$ $$5$$
График обратной функции строится симметрично графику исходной функции относительно прямой $$y=x$$.