Упр.10.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, значит
$$y=x|x|=x\cdot x=x^2.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому
$$y=x|x|=x\cdot(-x)=-x^2.$$
Следовательно,
$$y=\begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ -x^2, & x<0. \end{cases}$$
б) При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда
$$y=x^2+2|x|=x^2+2x.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, значит
$$y=x^2+2|x|=x^2-2x.$$
Итак,
$$y=\begin{cases} x^2+2x, & x\ge 0,\\ x^2-2x, & x<0. \end{cases}$$
Эта функция не является взаимно однозначной, поэтому обратной функции не существует.
в) При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда
$$y=2-x|x|=2-x^2.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, значит
$$y=2-x|x|=2+x^2.$$
Следовательно,
$$y=\begin{cases} 2-x^2, & x\ge 0,\\ 2+x^2, & x<0. \end{cases}$$
Обратная функция существует и задаётся так:
$$y=\begin{cases} \sqrt{2-x}, & x\le 2,\\ -\sqrt{x-2}, & x>2. \end{cases}$$
г) При $$x \ge 2$$ имеем $$|x-2|=x-2$$, поэтому
$$y=x|x-2|=x(x-2)=x^2-2x.$$
При $$x<2$$ имеем $$|x-2|=2-x$$, значит
$$y=x|x-2|=x(2-x)=2x-x^2.$$
Итак,
$$y=\begin{cases} x^2-2x, & x\ge 2,\\ 2x-x^2, & x<2. \end{cases}$$
Эта функция не имеет обратной функции.
Ответ:
а) $$y=\begin{cases}x^2, & x\ge 0,\\-x^2, & x<0;\end{cases}$$ б) обратной функции не существует; в) $$y=\begin{cases}2-x^2, & x\ge 0,\\2+x^2, & x<0;\end{cases}$$, $$y=\begin{cases}\sqrt{2-x}, & x\le 2,\\-\sqrt{x-2}, & x>2;\end{cases}$$ г) $$y=\begin{cases}x^2-2x, & x\ge 2,\\2x-x^2, & x<2;\end{cases}$$, обратной функции не существует.
