Упр.10.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции и определите, существует ли для нее обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте ее аналитически: а) $$y=3x+|x|$$; в) $$y=2|x|-5x$$; б) $$y=x+2|x|$$; г) $$y=2x-5|x|$$.

Подробный ответ

а) $$y=3x+|x|$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$y=3x+x=4x.$$

Если $$x<0,$$ то $$y=3x-x=2x.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} 4x, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0. \end{cases}$$

Функция строго возрастает на всей области определения, поэтому обратная функция существует.

Найдём её:

$$x= \begin{cases} 4y, & x\ge 0,\\ 2y, & x<0. \end{cases} \Rightarrow y= \begin{cases} \dfrac{x}{4}, & x\ge 0,\\[4pt] \dfrac{x}{2}, & x<0. \end{cases}$$

б) $$y=x+2|x|$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$y=x+2x=3x.$$

Если $$x<0,$$ то $$y=x-2x=-x.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} 3x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$

Эта функция не является взаимно однозначной на всей области определения, поэтому обратная функция не существует.

в) $$y=2|x|-5x$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$y=2x-5x=-3x.$$

Если $$x<0,$$ то $$y=-2x-5x=-7x.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} -3x, & x\ge 0,\\ -7x, & x<0. \end{cases}$$

Функция строго убывает на всей области определения, поэтому обратная функция существует.

Найдём её:

$$x= \begin{cases} -3y, & x\ge 0,\\ -7y, & x<0 \end{cases} \Rightarrow y= \begin{cases} -\dfrac{x}{3}, & x<0,\\[4pt] -\dfrac{x}{7}, & x\ge 0. \end{cases}$$

г) $$y=2x-5|x|$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$y=2x-5x=-3x.$$

Если $$x<0,$$ то $$y=2x+5x=7x.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} -3x, & x\ge 0,\\ 7x, & x<0. \end{cases}$$

Функция строго возрастает на всей области определения, поэтому обратная функция существует.

Найдём её:

$$x= \begin{cases} -3y, & x\ge 0,\\ 7y, & x<0 \end{cases} \Rightarrow y= \begin{cases} -\dfrac{x}{3}, & x\ge 0,\\[4pt] \dfrac{x}{7}, & x<0. \end{cases}$$