Упр.10.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$, чтобы уравнение $$f(x)=g(x)$$: а) имело один корень; б) имело три корня; в) имело бесконечно много корней; г) не имело корней.

Если функции взаимно обратны, то их графики симметричны относительно прямой $$y=x.$$ Поэтому число корней уравнения $$f(x)=g(x)$$ равно числу точек пересечения графиков.

Подберём пары взаимно обратных функций так, чтобы число точек пересечения было нужным.

1. Чтобы уравнение имело один корень, достаточно взять две прямые, пересекающиеся в одной точке и симметричные относительно $$y=x.$$ Например:

   $$f(x)=2x+1,\qquad g(x)=\frac{x-1}{2}.$$

   Тогда графики пересекаются в одной точке, значит уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет один корень.

2. Чтобы уравнение имело три корня, можно взять взаимно обратные кубические функции, например:

   $$f(x)=0{,}25x^3,\qquad g(x)=\sqrt[3]{4x}.$$

   Их графики пересекаются в трёх точках, значит уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет три корня.

3. Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, нужно взять функцию, совпадающую со своей обратной. Например:

   $$f(x)=x,\qquad g(x)=x.$$

   Тогда $$f(x)=g(x)$$ верно при любом $$x$$, то есть корней бесконечно много.

4. Чтобы уравнение не имело корней, возьмём взаимно обратные функции с непересекающимися графиками, например:

   $$f(x)=\sqrt{x-5},\qquad g(x)=x^2+5.$$

   В этом случае графики не пересекаются, значит уравнение $$f(x)=g(x)$$ не имеет корней.

Ответ: можно взять, например, такие пары функций:

а) $$f(x)=2x+1,\ g(x)=\frac{x-1}{2};$$ б) $$f(x)=0{,}25x^3,\ g(x)=\sqrt[3]{4x};$$ в) $$f(x)=x,\ g(x)=x;$$ г) $$f(x)=\sqrt{x-5},\ g(x)=x^2+5.$$