Упр.10.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$, чтобы уравнение $$f(x)=x$$: а) имело один корень; б) имело три корня; в) имело бесконечно много корней; г) не имело корней.

Для взаимно обратных функций графики симметричны относительно прямой $$y=x$$. Поэтому число корней уравнения $$f(x)=x$$ равно числу точек пересечения графика функции $$y=f(x)$$ с прямой $$y=x$$.

1. Чтобы уравнение имело один корень, достаточно взять две взаимно обратные функции, график одной из которых пересекает прямую $$y=x$$ в одной точке.

   Например, можно взять $$f(x)=3x-2$$ и $$g(x)=\dfrac{x+2}{3}$$. Тогда функции взаимно обратны, а уравнение

   $$3x-2=x$$

   имеет единственный корень:

   $$2x=2,\quad x=1.$$

2. Чтобы уравнение имело три корня, можно взять взаимно обратные функции, график которых пересекает прямую $$y=x$$ в трёх точках.

   Например, подойдут функции $$f(x)=x^3$$ и $$g(x)=\sqrt[3]{x}$$. Тогда

   $$x^3=x$$

   $$x(x^2-1)=0$$

   $$x(x-1)(x+1)=0,$$

   откуда $$x=-1,\;0,\;1.$$

3. Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, нужно, чтобы график функции совпадал с прямой $$y=x$$.

   Например, $$f(x)=x$$ и $$g(x)=x$$. Тогда

   $$f(x)=x$$

   верно при любом $$x$$, значит корней бесконечно много.

4. Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы график функции не пересекал прямую $$y=x$$.

   Например, можно взять $$f(x)=x+2$$ и $$g(x)=x-2$$. Эти функции взаимно обратны, а уравнение

   $$x+2=x$$

   не имеет решений.

Ответ: можно взять, например, $$f(x)=3x-2,\ g(x)=\dfrac{x+2}{3}$$; $$f(x)=x^3,\ g(x)=\sqrt[3]{x}$$; $$f(x)=x,\ g(x)=x$$; $$f(x)=x+2,\ g(x)=x-2$$.