Упр.10.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Пусть $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ — взаимно-обратные функции. Постройте на двух различных чертежах графики функций $$y=f(g(x))$$ и $$y=g(f(x))$$, если:
- а) $$D(f)=E(f)=\mathbb{R}$$;
- в) $$D(f)=[1;3]$$, $$E(f)=\mathbb{R}$$;
- б) $$D(f)=E(f)=(0;3]$$;
- г) $$D(f)=[-2;3]$$, $$E(f)=[-3;2]$$.
Так как функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ взаимно обратны, то
$$f(g(x))=x \quad \text{при } x\in D(g),$$
$$g(f(x))=x \quad \text{при } x\in D(f).$$
а) $$D(f)=E(f)=\mathbb{R}.$$
Тогда $$D(g)=\mathbb{R}.$$
Следовательно, оба графика совпадают с прямой $$y=x$$ на всей числовой прямой.
б) $$D(f)=E(f)=(0;3].$$
Тогда $$D(g)=(0;3].$$
График $$y=f(g(x))$$: $$y=x,\; x\in(0;3].$$
График $$y=g(f(x))$$: $$y=x,\; x\in(0;3].$$
в) $$D(f)=[1;3], \quad E(f)=\mathbb{R}.$$
Тогда $$D(g)=\mathbb{R}.$$
График $$y=f(g(x))$$: $$y=x,\; x\in\mathbb{R}.$$
График $$y=g(f(x))$$: $$y=x,\; x\in[1;3].$$
г) $$D(f)=[-2;3], \quad E(f)=[-3;2].$$
Тогда $$D(g)=[-3;2].$$
График $$y=f(g(x))$$: $$y=x,\; x\in[-3;2].$$
График $$y=g(f(x))$$: $$y=x,\; x\in[-2;3].$$
Ответ: графики обеих функций — части прямой $$y=x$$; в случае полного совпадения областей определения и значений это вся прямая, а в остальных случаях — соответствующие отрезки или лучи, указанные выше.
