Упр.10.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac{3}{x},\quad g(x)=\frac{3}{x}$$

Найдём композицию:

$$y=f(g(x))=f\!\left(\frac{3}{x}\right)=\frac{3}{\frac{3}{x}}=x.$$

Область определения: $$x\ne 0,$$ так как $$g(x)=\frac{3}{x}$$ не определена при $$x=0.$$

График — прямая $$y=x$$ с выколотой точкой $$\left(0;0\right).$$

б) $$f(x)=\frac{3}{x+1},\quad g(x)=\frac{3-x}{x}$$

$$y=f(g(x))=f\!\left(\frac{3-x}{x}\right)=\frac{3}{\frac{3-x}{x}+1}.$$

Упростим:

$$\frac{3-x}{x}+1=\frac{3-x+x}{x}=\frac{3}{x},$$

тогда

$$y=\frac{3}{\frac{3}{x}}=x.$$

Область определения: $$x\ne 0,$$ а также $$\frac{3-x}{x}\ne -1.$$ Но

$$\frac{3-x}{x}=-1 \;\Longrightarrow\; 3-x=-x \;\Longrightarrow\; 3=0,$$

что невозможно. Значит, достаточно условия $$x\ne 0.$$

График — прямая $$y=x$$ с выколотой точкой $$\left(0;0\right).$$

в) $$f(x)=\frac{1}{2x},\quad g(x)=\frac{1}{2x}$$

$$y=f(g(x))=f\!\left(\frac{1}{2x}\right)=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2x}}=x.$$

Область определения: $$x\ne 0,$$ так как обе функции содержат знаменатель с $$x.$$

График — прямая $$y=x$$ с выколотой точкой $$\left(0;0\right).$$

г) $$f(x)=\frac{x-1}{x+1},\quad g(x)=\frac{x+1}{1-x}$$

$$y=f(g(x))=f\!\left(\frac{x+1}{1-x}\right)=\frac{\frac{x+1}{1-x}-1}{\frac{x+1}{1-x}+1}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x+1}{1-x}-1=\frac{x+1-(1-x)}{1-x}=\frac{2x}{1-x},$$

$$\frac{x+1}{1-x}+1=\frac{x+1+(1-x)}{1-x}=\frac{2}{1-x}.$$

Тогда

$$y=\frac{\frac{2x}{1-x}}{\frac{2}{1-x}}=x.$$

Область определения: $$x\ne 1,$$ так как $$g(x)$$ не определена при $$x=1.$$ Кроме того,

$$g(x)\ne 1 \;\Longrightarrow\; \frac{x+1}{1-x}\ne 1,$$

что выполняется при всех допустимых $$x.$$

График — прямая $$y=x$$ с выколотой точкой $$\left(1;1\right).$$

Ответ: во всех пунктах получается функция $$y=x,$$ но с соответствующими ограничениями области определения: в пунктах а), б), в) $$x\ne 0,$$ в пункте г) $$x\ne 1.$$