Упр.10.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ — взаимно обратные функции.

1. а) $$f(3)=5$$ и $$g(7)=1$$. Решите уравнения $$f(x)=7$$ и $$g(x)=3$$.
   б) $$f(4)=4$$ и $$g(25)=9$$. Решите уравнения $$f(x^2)=25$$ и $$g(x^2)=4$$.
   в) $$f(15)=-3$$ и $$g(-7)=1$$. Решите уравнения $$f(t)=-7$$ и $$g(t)=15$$.
   г) $$f(7)=5$$ и $$g(7)=1$$. Решите уравнения $$f(3x)=7$$ и $$g(5-x)=5$$.

Так как функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ взаимно обратные, то из равенства $$f(a)=b$$ следует $$g(b)=a$$, а из равенства $$g(a)=b$$ следует $$f(b)=a$$.

а)

$$f(3)=5,\quad g(7)=1.$$

Решим уравнение $$f(x)=7$$. Поскольку $$g(7)=1$$, то $$f(1)=7$$, значит, $$x=1$$.

Решим уравнение $$g(x)=3$$. Поскольку $$f(3)=5$$, то $$g(5)=3$$, значит, $$x=5$$.

б)

$$f(4)=4,\quad g(25)=9.$$

Решим уравнение $$f(x^2)=25$$. Из $$g(25)=9$$ следует $$f(9)=25$$, значит, $$x^2=9$$, откуда $$x=\pm 3$$.

Решим уравнение $$g(x^2)=4$$. Из $$f(4)=4$$ следует $$g(4)=4$$, значит, $$x^2=4$$, откуда $$x=\pm 2$$.

в)

$$f(15)=-3,\quad g(-7)=1.$$

Решим уравнение $$f(t)=-7$$. Поскольку $$g(-7)=1$$, то $$f(1)=-7$$, значит, $$t=1$$.

Решим уравнение $$g(t)=15$$. Из $$f(15)=-3$$ следует $$g(-3)=15$$, значит, $$t=-3$$.

г)

$$f(7)=5,\quad g(7)=1.$$

Решим уравнение $$f(3x)=7$$. Так как $$g(7)=1$$, то $$f(1)=7$$. Тогда $$3x=1$$, откуда $$x=\frac{1}{3}$$.

Решим уравнение $$g(5-x)=5$$. Из $$f(7)=5$$ следует $$g(5)=7$$, значит, $$5-x=5$$, откуда $$x=0$$.

Ответ

а) $$x=1$$, $$x=5$$; б) $$x=\pm 3$$, $$x=\pm 2$$; в) $$t=1$$, $$t=-3$$; г) $$x=\frac{1}{3}$$, $$x=0$$.