Упр.10.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Для обратной функции нужно выразить $$x$$ через $$y$$ на каждом промежутке.

Если $$x \le 1,$$ то $$y=2x-5.$$ Тогда

$$x=\frac{y+5}{2}.$$

Так как при $$x \le 1$$ имеем $$y \le -3,$$ то

$$f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}, \quad x \le -3.$$

Если $$x>1,$$ то $$y=x-6.$$ Тогда

$$x=y+6,$$

и при $$x>1$$ получаем $$y>-5,$$ значит

$$f^{-1}(x)=x+6, \quad x>-5.$$

На множестве $$\mathbb{R}$$ обратной функции не существует, так как исходная функция принимает значения из промежутка $$(-5;\,-3]$$ в двух точках.

б) Если $$x \le 2,$$ то $$y=5-x.$$ Тогда

$$x=5-y,$$

а при $$x \le 2$$ имеем $$y \ge 3,$$ значит

$$f^{-1}(x)=5-x, \quad x \ge 3.$$

Если $$x>2,$$ то $$y=7-2x.$$ Тогда

$$x=\frac{7-y}{2},$$

а при $$x>2$$ имеем $$y<3,$$ значит

$$f^{-1}(x)=\frac{7-x}{2}, \quad x<3.$$

На множестве $$\mathbb{R}$$ обратной функции не существует, так как функция принимает каждое значение из промежутка $$0<y\le 3$$ в двух точках.

в) Если $$x \le 0,$$ то $$y=3x+5.$$ Тогда

$$x=\frac{y-5}{3},$$

а при $$x \le 0$$ имеем $$y \le 5,$$ значит

$$f^{-1}(x)=\frac{x-5}{3}, \quad x \le 5.$$

Если $$x>0,$$ то $$y=x^2.$$ Тогда

$$x=\sqrt{y},$$

а при $$x>0$$ имеем $$y>0,$$ значит

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}, \quad x>0.$$

На множестве $$\mathbb{R}$$ обратной функции не существует, так как на промежутке $$0<y\le 5$$ функция принимает одинаковые значения в двух точках.

г) Если $$x \le 0,$$ то $$y=3-x.$$ Тогда

$$x=3-y,$$

а при $$x \le 0$$ имеем $$y \ge 3,$$ значит

$$f^{-1}(x)=3-x, \quad x \ge 3.$$

Если $$x>0,$$ то $$y=2-7x.$$ Тогда

$$x=\frac{2-y}{7},$$

а при $$x>0$$ имеем $$y<2,$$ значит

$$f^{-1}(x)=\frac{2-x}{7}, \quad x<2.$$

На множестве $$\mathbb{R}$$ обратной функции не существует.

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } f^{-1}(x)= \begin{cases} \dfrac{x+5}{2}, & x \le -3,\\ x+6, & x>-5; \end{cases} \\ &\text{б) } f^{-1}(x)= \begin{cases} 5-x, & x \ge 3,\\ \dfrac{7-x}{2}, & x<3; \end{cases} \\ &\text{в) } f^{-1}(x)= \begin{cases} \dfrac{x-5}{3}, & x \le 5,\\ \sqrt{x}, & x>0; \end{cases} \\ &\text{г) } f^{-1}(x)= \begin{cases} 3-x, & x \ge 3,\\ \dfrac{2-x}{7}, & x<2. \end{cases} \end{aligned}$$

На множестве $$\mathbb{R}$$ обратной функции нет.