Упр.10.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- $$y=x^2-4x+18$$: а) на $$\mathbb{R}$$; в) на $$(-\infty; 0]$$; б) на $$[2;+\infty)$$; г) на $$(-\infty;3)$$.
Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x+18=(x-2)^2+14.$$
Это парабола с ветвями вверх, поэтому обратная функция существует только на промежутках, где исходная функция монотонна, то есть содержит одну ветвь параболы.
а) На множестве $$\mathbb{R}$$
На всей числовой прямой функция не является взаимно однозначной, значит, обратной функции не существует.
Ответ: нет.
б) На промежутке $$[2;+\infty)$$
На этом промежутке функция возрастает. Найдём область значений:
$$y_{\min}=y(2)=(2-2)^2+14=14,$$
значит, $$E(f)=[14;+\infty).$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y=(x-2)^2+14$$
$$y-14=(x-2)^2$$
$$x-2=\sqrt{y-14}$$
$$x=2+\sqrt{y-14}.$$
Меняя обозначения переменных, получаем обратную функцию:
$$y=2+\sqrt{x-14}, \quad x\ge 14.$$
Ответ: $$y=2+\sqrt{x-14}, \quad D(y)=[14;+\infty), \quad E(y)=[2;+\infty).$$
в) На промежутке $$(-\infty;0]$$
На этом промежутке функция убывает. Найдём область значений:
$$y_{\min}=y(0)=(0-2)^2+14=18,$$
значит, $$E(f)=[18;+\infty).$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y=(x-2)^2+14$$
$$y-14=(x-2)^2$$
$$x-2=-\sqrt{y-14}$$
$$x=2-\sqrt{y-14}.$$
Следовательно, обратная функция:
$$y=2-\sqrt{x-14}, \quad x\ge 18.$$
Ответ: $$y=2-\sqrt{x-14}, \quad D(y)=[18;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;0].$$
г) На промежутке $$(-\infty;3)$$
На этом промежутке функция сначала убывает, а затем возрастает, поэтому она не является взаимно однозначной. Следовательно, обратной функции не существует.
Ответ: нет.
