Упр.10.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$y=(x+3)^2-2$$: а) на $$\mathbb{R}$$; б) на $$[-3;+\infty)$$; в) на $$(-\infty;-3]$$; г) на $$[-4;4]$$.

Дана функция $$y=(x+3)^2-2.$$ Это парабола с ветвями вверх, её вершина имеет абсциссу $$x_0=-3.$$

а)

На множестве $$\mathbb{R}$$ обратной функции не существует, так как парабола не является взаимно однозначной на всей области определения.

б)

На промежутке $$[-3;+\infty)$$ функция возрастает, значит обратная функция существует.

Найдём её:

$$x=(y+3)^2-2$$
$$(y+3)^2=x+2$$
$$y+3=\sqrt{x+2}$$
$$y=\sqrt{x+2}-3$$

Так как исходная функция на этом промежутке принимает значения $$[-2;+\infty)$$, то

$$D(f^{-1})=[-2;+\infty), \qquad E(f^{-1})=[-3;+\infty).$$

в)

На промежутке $$(-\infty;-3]$$ функция убывает, поэтому обратная функция существует.

Находим её:

$$x=(y+3)^2-2$$
$$(y+3)^2=x+2$$
$$y+3=-\sqrt{x+2}$$
$$y=-\sqrt{x+2}-3$$

Здесь область определения обратной функции та же:

$$D(f^{-1})=[-2;+\infty), \qquad E(f^{-1})=(-\infty;-3].$$

г)

На промежутке $$[-4;4]$$ функция не является взаимно однозначной, поэтому обратной функции не существует.

Ответ: а) нет; б) $$y=\sqrt{x+2}-3$$; в) $$y=-\sqrt{x+2}-3$$; г) нет.