Упр.10.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• $$y=x^2-2$$: а) на $$R$$; б) на $$[1;2)$$; в) на $$(-1;5]$$; г) на $$[-2;0]$$.

Квадратичная функция $$y=x^2-2$$ имеет вершину при $$x_0=-\frac{b}{2a}=0$$, ветви параболы направлены вверх, поэтому обратная функция существует только на промежутках, где функция монотонна.

1. На множестве $$\mathbb{R}$$ обратной функции не существует, так как парабола не является взаимно однозначной на всей числовой прямой.

2. На промежутке $$[1;2)$$ функция возрастает, значит обратная функция существует.

   Найдём её:

   $$x=y^2-2 \\\\ y^2=x+2 \\\\ y=\sqrt{x+2}$$

   Так как исходная функция на $$[1;2)$$ принимает значения из промежутка $$[-1;2)$$, то

   $$y=\sqrt{x+2}, \quad D(y)=[-1;2), \quad E(y)=[1;2).$$

3. На промежутке $$(-1;5]$$ функция не является взаимно однозначной, поэтому обратной функции не существует.

4. На промежутке $$[-2;0]$$ функция убывает, значит обратная функция существует.

   Найдём её:

   $$x=y^2-2 \\\\ y^2=x+2 \\\\ y=-\sqrt{x+2}$$

   Здесь область значений исходной функции равна $$[-2;2]$$, поэтому

   $$y=-\sqrt{x+2}, \quad D(y)=[-2;2], \quad E(y)=[-2;0].$$

Ответ: а) не существует; б) $$y=\sqrt{x+2}$$; в) не существует; г) $$y=-\sqrt{x+2}$$.