Упр.10.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Рассмотрите данную функцию $$y=x^2$$ на каждом из указанных промежутков; если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте обратную функцию аналитически, укажите её область определения и область значений, постройте её график: а) на $$\mathbb{R}$$; в) на $$(-1; 5]$$; б) на $$[1; +\infty)$$; г) на $$(-\infty; 0]$$.

Функция $$y=x^2$$ — парабола с вершиной в точке $$\left(0;0\right)$$. Обратная функция существует только на промежутках, где задана одна ветвь параболы и функция монотонна.

Ход решения

1. На множестве $$\mathbb{R}$$ функция $$y=x^2$$ не является взаимно однозначной, так как одному значению $$y>0$$ соответствуют два значения $$x$$: $$x=\pm\sqrt{y}$$. Значит, обратной функции нет.

2. На промежутке $$[1;+\infty)$$ функция возрастает, поэтому обратная функция существует.

   Найдём её:

   $$y=x^2 \;\Rightarrow\; x=y^2 \;\Rightarrow\; y=\sqrt{x}, \quad x\ge 1.$$

   Так как при $$x\in[1;+\infty)$$ значения функции удовлетворяют $$y\in[1;+\infty)$$, то

   $$D\left(f^{-1}\right)=[1;+\infty), \qquad E\left(f^{-1}\right)=[1;+\infty).$$

3. На промежутке $$(-1;5]$$ функция $$y=x^2$$ не является монотонной, поэтому обратной функции не существует.

4. На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция убывает, значит, обратная функция существует.

   Найдём её:

   $$y=x^2 \;\Rightarrow\; x=y^2 \;\Rightarrow\; y=-\sqrt{x}, \quad x\ge 0.$$

   При $$x\in(-\infty;0]$$ значения функции лежат в промежутке $$[0;+\infty)$$, поэтому

   $$D\left(f^{-1}\right)=[0;+\infty), \qquad E\left(f^{-1}\right)=(-\infty;0].$$

Ответ

а) обратной функции не существует;
б) $$y=\sqrt{x}$$, $$D=[1;+\infty)$$, $$E=[1;+\infty)$$;
в) обратной функции не существует;
г) $$y=-\sqrt{x}$$, $$D=[0;+\infty)$$, $$E=(-\infty;0]$$.