Упр.10.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Может ли функция иметь обратную, если она: а) четная; в) периодическая; б) нечетная; г) непериодическая?

Функция может иметь обратную только тогда, когда каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции и наоборот, то есть она должна быть взаимно однозначной.

Ход решения

1. а) Чётная функция. Для чётной функции выполняется $$f(-x)=f(x).$$

   Значит, одному и тому же значению функции соответствуют, вообще говоря, два различных значения аргумента: $$x$$ и $$-x.$$ Поэтому чётная функция не может иметь обратную, кроме случая, когда область определения состоит только из одной точки $$D(f)=\{0\}.$$

2. б) Нечётная функция. Нечётная функция может быть взаимно однозначной. Например, функция $$y=x$$ не является нечётной, а функция $$y=\frac{1}{x}$$ нечётная и имеет обратную саму к себе:

   $$y=\frac{1}{x} \\\\ x=\frac{1}{y} \\\\ y=\frac{1}{x}$$

   Следовательно, нечётная функция может иметь обратную.

3. в) Периодическая функция. Если функция периодическая, то одному значению функции соответствуют бесконечно многие значения аргумента:

   $$(x;y),\ (x+T;y),\ (x+2T;y),\dots$$

   Значит, периодическая функция не может быть взаимно однозначной, а следовательно, не может иметь обратную.

4. г) Непериодическая функция. Непериодичность сама по себе не мешает существованию обратной функции. Например, функция $$y=x$$ непериодическая и имеет обратную функцию $$y=x.$$

   Следовательно, непериодическая функция может иметь обратную.

Ответ

а) может только при $$D(f)=\{0\}$$; б) может; в) не может; г) может.