Упр.10.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Обязательно ли функция имеет обратную, если она:

а) линейная;

в) вида $$y=\sqrt{x}+a$$;

б) дробно-линейная;

г) вида $$y=x^3+a$$?

Подробный ответ

Функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно однозначна, то есть каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$.

Линейная функция $$y=kx+b$$.
Если $$k\neq 0$$, то такая функция строго монотонна, значит, обратная к ней существует:
$$x=ky+b$$
$$ky=x-b$$
$$y=\frac{x-b}{k}$$
Если $$k=0$$, то функция постоянная и обратной не имеет.
Следовательно, не всегда.
Дробно-линейная функция $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$.
При $$ad-bc\neq 0$$ и на области определения такая функция взаимно однозначна, поэтому обратная существует:
$$x=\frac{ay+b}{cy+d}$$
$$x(cy+d)=ay+b$$
$$xcy+dx=ay+b$$
$$y(cx-a)=b-dx$$
$$y=\frac{b-dx}{cx-a}$$
Следовательно, не всегда, а при соответствующих условиях на коэффициенты — да.
Функция $$y=\sqrt{x+a}$$.
Её область определения: $$x\ge -a$$. На этой области функция возрастает, значит, обратная существует:
$$x=\sqrt{y+a}$$
$$x^2=y+a$$
$$y=x^2-a$$
Следовательно, да, обязательно.
Функция $$y=x^3+a$$.
Кубическая функция строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому обратная существует:
$$x=y^3+a$$
$$y^3=x-a$$
$$y=\sqrt[3]{x-a}$$
Следовательно, да, обязательно.