Упр.10.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Может ли функция иметь обратную, если она:

• а) линейная;
• в) дробно-линейная;
• б) квадратичная;
• г) вида $$y=\sqrt{x+a}$$?

а) Линейная функция имеет вид $$y=kx+b.$$

Если $$k\ne 0,$$ то обратная функция находится из уравнения

$$x=ky+b,$$

откуда

$$y=\frac{x-b}{k}.$$

Каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y,$$ значит, обратная функция существует.

Ответ: может.

б) Квадратичная функция имеет график параболы. Она не является взаимно однозначной на всей области определения, так как одному значению $$y$$ обычно соответствуют два значения $$x$$.

Ответ: не может.

в) Дробно-линейная функция имеет вид $$y=\frac{ax+b}{cx+d}.$$

Найдём обратную:

$$x=\frac{ay+b}{cy+d},$$

$$x(cy+d)=ay+b,$$

$$xcy+dx=ay+b,$$

$$xcy-ay=b-dx,$$

$$y(cx-a)=b-dx,$$

$$y=\frac{b-dx}{cx-a}.$$

Каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y,$$ значит, обратная функция существует.

Ответ: может.

г) Для функции вида $$y=\sqrt{x+a}$$ найдём обратную:

$$x=\sqrt{y+a},$$

$$x^2=y+a,$$

$$y=x^2-a.$$

Каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y,$$ значит, обратная функция существует.

Ответ: может.