Упр.10.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Из равенства $$y=\frac{x^2}{x^2+1}$$ выразим $$x$$.

Умножим обе части на $$x^2+1$$:

$$y(x^2+1)=x^2$$

$$yx^2+y=x^2$$

$$x^2-yx^2=y$$

$$x^2(1-y)=y$$

$$x^2=\frac{y}{1-y}$$

Следовательно,

$$x=\pm\sqrt{\frac{y}{1-y}}$$

Чтобы выражение имело смысл, нужно:

$$\frac{y}{1-y}\ge 0,\qquad y\ne 1$$

Отсюда получаем $$0\le y<1$$.

Если требуется выразить $$x$$ с учётом знака:

• при $$x\ge 0$$: $$x=\sqrt{\frac{y}{1-y}},\quad 0\le y<1$$;
• при $$x\le 0$$: $$x=-\sqrt{\frac{y}{1-y}},\quad 0\le y<1$$;
• при $$x\ge 2$$: $$\sqrt{\frac{y}{1-y}}\ge 2,\quad y\ge 0{,}8,\quad y<1$$, значит $$x=\sqrt{\frac{y}{1-y}}$$;
• при $$x\le -0{,}21$$: $$-\sqrt{\frac{y}{1-y}}\le -0{,}21$$, значит $$\sqrt{\frac{y}{1-y}}\ge 0{,}21$$, откуда $$\frac{y}{1-y}\ge \frac{441}{10000}$$ и $$y\ge \frac{441}{10441}$$; следовательно, $$x=-\sqrt{\frac{y}{1-y}}$$.

Ответ: $$x=\pm\sqrt{\frac{y}{1-y}},\quad 0\le y<1.$$