Упр.1.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Разность квадратов любых натуральных различных чисел делится на их сумму и на их разность;
   б) разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — различные натуральные числа.

а)

Разность квадратов раскладывается на множители:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$

Тогда

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}=x+y,$$

а так как сумма натуральных чисел $$x+y$$ — натуральное число, то $$x-y$$ является делителем разности квадратов.

Аналогично

$$\frac{x^2-y^2}{x+y}=x-y,$$

значит, $$x+y$$ тоже является делителем разности квадратов.

б)

Разность кубов раскладывается так:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$

Следовательно,

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2,$$

а значит, $$x-y$$ является делителем разности кубов.

Ответ: $$x^2-y^2$$ делится на $$x-y$$ и $$x+y$$; $$x^3-y^3$$ делится на $$x-y$$.