Упр.1.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$2y-x=15$$

Выразим $$y$$:

$$y=\frac{15+x}{2}$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то $$15+x$$ должно быть чётным. Значит, $$x$$ — нечётное число, поэтому

$$x=2k+1$$

Тогда

$$y=\frac{15+2k+1}{2}=8+k$$

Ответ: $$(2k+1;\,8+k)$$.

$$6x-y=25$$

Выразим $$x$$:

$$x=\frac{25+y}{6}$$

Чтобы $$x$$ был целым, число $$25+y$$ должно делиться на $$6$$. Тогда

$$y=6k-1$$

Подставим:

$$x=\frac{25+6k-1}{6}=4+k$$

Ответ: $$(4+k;\,6k-1)$$.

$$7x+4y=123$$

Выразим $$y$$:

$$4y=123-7x$$

Чтобы $$y$$ был целым, число $$123-7x$$ должно делиться на $$4$$. Так как $$123\equiv 3 \pmod 4$$ и $$7\equiv 3 \pmod 4$$, получаем

$$3-3x\equiv 0 \pmod 4$$, то есть $$x\equiv 1 \pmod 4$$.

Пусть

$$x=4k+1$$

Тогда

$$y=\frac{123-7(4k+1)}{4}=\frac{116-28k}{4}=29-7k$$

Ответ: $$(4k+1;\,29-7k)$$.

$$5x-7y=23$$

Выразим $$x$$:

$$5x=23+7y$$

Чтобы $$x$$ был целым, число $$23+7y$$ должно делиться на $$5$$. Так как $$23\equiv 3 \pmod 5$$ и $$7\equiv 2 \pmod 5$$, имеем

$$3+2y\equiv 0 \pmod 5$$, откуда $$y\equiv 1 \pmod 5$$.

Пусть

$$y=5k+1$$

Тогда

$$x=\frac{23+7(5k+1)}{5}=\frac{30+35k}{5}=6+7k$$

Ответ: $$(7k+6;\,5k+1)$$.