Упр.1.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Не пользуясь калькулятором, определите, является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа: а) $$75\,625$$; б) $$614\,656$$; в) $$31\,104$$; г) $$45\,212\,176$$.

Разложим каждое число на простые множители и проверим, являются ли все показатели степеней чётными (для квадрата) или кратными $$3$$ (для куба).

1. $$75\,625=5^4\cdot 11^2$$

   Все показатели чётные, значит, это квадрат натурального числа. Но показатель при $$5$$ не кратен $$3$$, поэтому кубом число не является.

2. $$614\,656=2^8\cdot 7^4$$

   Все показатели чётные, значит, это квадрат натурального числа. Но показатели не кратны $$3$$, поэтому кубом число не является.

3. $$31\,104=2^7\cdot 3^5$$

   Показатели степеней не все чётные и не все кратны $$3$$, значит, это не квадрат и не куб натурального числа.

4. $$216\,000=2^6\cdot 3^3\cdot 5^3$$

   Показатели степеней кратны $$3$$, значит, это куб натурального числа. Но не все показатели чётные, поэтому квадратом число не является.

Ответ: а) квадрат — да, куб — нет; б) квадрат — да, куб — нет; в) квадрат — нет, куб — нет; г) квадрат — нет, куб — да.