Упр.1.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

38. Сколькими нулями оканчивается число: а) $$10!$$; б) $$20!$$; в) $$40!$$; г) $$100!$$?

Нули в конце числа определяются количеством пар множителей $$2$$ и $$5$$ в его разложении. В факториале двоек всегда больше, чем пятёрок, поэтому достаточно посчитать число множителей $$5$$:

$$N=\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor+\cdots$$

Для данных чисел получаем:

1. $$10!:\quad N=\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor=2.$$
2. $$20!:\quad N=\left\lfloor \frac{20}{5} \right\rfloor=4.$$
3. $$40!:\quad N=\left\lfloor \frac{40}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{40}{25} \right\rfloor=8+1=9.$$
4. $$100!:\quad N=\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor=20+4=24.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$4$$; в) $$9$$; г) $$24$$.