Упр.1.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 1.36. Полагают, по определению, что $$n! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots(n-1)\cdot n$$ (символ $$n!$$ читают «n-факториал»), а $$1! = 1$$. С каким показателем входит число $$2$$ в разложение на простые множители числа: а) $$10!$$; б) $$20!$$; в) $$40!$$; г) $$100!$$?

По определению $$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n.$$

Показатель степени числа $$2$$ в разложении числа $$n!$$ на простые множители равен

$$k=\left[\frac n2\right]+\left[\frac n{2^2}\right]+\left[\frac n{2^3}\right]+\cdots,$$

где $$[\,]$$ — целая часть числа.

Тогда:

1. для $$10!$$:

   $$k=\left[\frac{10}{2}\right]+\left[\frac{10}{4}\right]+\left[\frac{10}{8}\right]=5+2+1=8;$$

2. для $$20!$$:

   $$k=\left[\frac{20}{2}\right]+\left[\frac{20}{4}\right]+\left[\frac{20}{8}\right]+\left[\frac{20}{16}\right]=10+5+2+1=18;$$

3. для $$40!$$:

   $$k=\left[\frac{40}{2}\right]+\left[\frac{40}{4}\right]+\left[\frac{40}{8}\right]+\left[\frac{40}{16}\right]+\left[\frac{40}{32}\right]=20+10+5+2+1=38;$$

4. для $$100!$$:

   $$k=\left[\frac{100}{2}\right]+\left[\frac{100}{4}\right]+\left[\frac{100}{8}\right]+\left[\frac{100}{16}\right]+\left[\frac{100}{32}\right]+\left[\frac{100}{64}\right]=50+25+12+6+3+1=97.$$

Ответ: а) $$8$$; б) $$18$$; в) $$38$$; г) $$97$$.