Упр.1.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- 1.5. Докажите утверждение:
а) Если каждое из натуральных чисел $$n$$ и $$m$$ делится на натуральное число $$p$$, то $$(n+m)$$ и $$(n-m)$$ делятся на $$p$$.
б) Если каждое из натуральных чисел $$n$$ и $$m$$ делится на натуральное число $$p$$, а $$x$$ и $$y$$ — произвольные натуральные числа, то $$(nx\pm my)$$ делится на $$p$$.
в) Если натуральное число $$n$$ делится на натуральное число $$p$$, а натуральное $$m$$ не делится на $$p$$, то ни сумма $$n+m$$, ни разность $$n-m$$ не делятся на $$p$$.
г) Если сумма натуральных чисел и каждое её слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число $$p$$, то и это последнее слагаемое делится на $$p$$.
а) Пусть $$n : p$$ и $$m : p$$. Тогда существуют натуральные числа $$q_1$$ и $$q_2$$ такие, что
$$n=pq_1,\qquad m=pq_2.$$
Тогда
$$n+m=pq_1+pq_2=p(q_1+q_2),$$
значит, $$n+m : p$$.
Аналогично
$$n-m=pq_1-pq_2=p(q_1-q_2).$$
Если $$n\ge m$$, то $$q_1\ge q_2$$, поэтому $$q_1-q_2\in N$$ и, следовательно, $$n-m : p$$.
б) Пусть $$n : p$$ и $$m : p$$, а $$x,y\in N$$. Тогда
$$n=pq_1,\qquad m=pq_2.$$
Следовательно,
$$nx\pm my=pq_1x\pm pq_2y=p(q_1x\pm q_2y),$$
значит, $$nx\pm my : p$$.
в) Пусть $$n : p$$, а $$m \not : p$$. Докажем от противного.
Если бы $$n+m : p$$, то существовало бы натуральное $$q$$ такое, что
$$n+m=pq.$$
Так как $$n=pq_1$$, то
$$m=pq-n=pq-pq_1=p(q-q_1),$$
то есть $$m : p$$ — противоречие. Значит, $$n+m \not : p$$.
Аналогично, если бы $$n-m : p$$, то
$$n-m=pq,$$
откуда
$$m=n-pq=pq_1-pq=p(q_1-q),$$
то есть снова $$m : p$$, что невозможно. Следовательно, $$n-m \not : p$$.
г) Пусть $$a_1,\dots,a_n : p$$ и $$a_1+\dots+a_n+m : p$$. Тогда существуют натуральные числа $$q_1,\dots,q_n,q$$ такие, что
$$a_1=pq_1,\ \dots,\ a_n=pq_n,\qquad a_1+\dots+a_n+m=pq.$$
Тогда
$$m=pq-(a_1+\dots+a_n)=pq-pq_1-\dots-pq_n=p\bigl(q-q_1-\dots-q_n\bigr).$$
Следовательно, $$m : p$$.
Ответ
Все утверждения доказаны.
