Упр.1.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что:
а) остаток от деления натурального числа на $$2$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$2$$;
б) остаток от деления натурального числа на $$5$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$5$$.

Пусть $$n=10q+p,$$ где $$q$$ — натуральное число, а $$p$$ — последняя цифра числа $$n$$, то есть $$p\in\{0,1,2,\dots,9\}.$$

Тогда

$$n=10q+p=2\cdot 5q+p.$$

При делении на $$2$$ число $$10q$$ делится без остатка, значит остаток от деления $$n$$ на $$2$$ определяется только последней цифрой $$p$$. Следовательно, остаток от деления числа $$n$$ на $$2$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$2$$.

Аналогично,

$$n=10q+p=5\cdot 2q+p.$$

При делении на $$5$$ число $$10q$$ делится без остатка, значит остаток от деления $$n$$ на $$5$$ определяется только последней цифрой $$p$$. Следовательно, остаток от деления числа $$n$$ на $$5$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$5$$.

Ответ

а) Остаток от деления натурального числа на $$2$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$2$$.
б) Остаток от деления натурального числа на $$5$$ равен остатку от деления его последней цифры на $$5$$.