Упр.1.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Число $$x$$ при делении на $$8$$ дает остаток $$5$$. Чему может быть равен остаток от деления числа $$x$$: а) на $$2$$; б) на $$3$$; в) на $$4$$; г) на $$6$$?

Пусть $$x=8k+5,$$ где $$k$$ — целое число.

1. При делении на $$2$$:

   $$x=8k+5=2\cdot 4k+4+1,$$

   значит, остаток всегда равен $$1$$.

2. При делении на $$3$$:

   $$x=8k+5=3\cdot 2k+2k+5.$$

   Проверим возможные значения остатка по модулю $$3$$:

   если $$k=0,$$ то остаток $$2$$; если $$k=1,$$ то остаток $$1$$; если $$k=2,$$ то остаток $$0$$.

   Значит, возможны остатки $$0, 1, 2$$.

3. При делении на $$4$$:

   $$x=8k+5=4\cdot 2k+4+1,$$

   значит, остаток всегда равен $$1$$.

4. При делении на $$6$$:

   $$x=8k+5=6k+2k+5.$$

   Проверим остатки:

   при $$k=0$$ остаток $$5$$, при $$k=1$$ остаток $$1$$, при $$k=2$$ остаток $$3$$, далее остатки повторяются.

   Значит, возможны остатки $$1, 3, 5$$.

Ответ: а) $$1$$; б) $$0, 1, 2$$; в) $$1$$; г) $$1, 3, 5$$.