Упр.1.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все простые числа $$p$$ и $$q$$ такие, что: а) $$5p+17q=140$$; б) $$7p+3q=86$$.

а) Из уравнения $$5p+17q=140$$ получаем

$$5p=140-17q,$$

$$p=\frac{140-17q}{5}.$$

Так как $$p$$ — простое число, то числитель $$140-17q$$ должен делиться на $$5$$. Рассмотрим по модулю $$5$$:

$$140-17q \equiv 0-2q \equiv 0 \pmod 5,$$

значит, $$q$$ кратно $$5$$. Простое число, кратное $$5$$, только одно: $$q=5$$.

Тогда

$$p=\frac{140-17\cdot 5}{5}=\frac{140-85}{5}=\frac{55}{5}=11.$$

Проверка: $$5\cdot 11+17\cdot 5=55+85=140.$$

б) Из уравнения $$7p+3q=86$$ получаем

$$7p=86-3q,$$

$$p=\frac{86-3q}{7}.$$

Чтобы $$p$$ было целым, число $$86-3q$$ должно делиться на $$7$$. По модулю $$7$$:

$$86-3q \equiv 2-3q \equiv 0 \pmod 7,$$

откуда

$$3q \equiv 2 \pmod 7.$$

Проверим простые числа, при которых $$86-3q$$ делится на $$7$$. Подходят $$q=3$$ и $$q=17$$, тогда:

при $$q=3$$

$$p=\frac{86-3\cdot 3}{7}=\frac{77}{7}=11;$$

при $$q=17$$

$$p=\frac{86-3\cdot 17}{7}=\frac{35}{7}=5.$$

Оба значения простые, значит, решения есть:

$$p=11,\ q=3$$ или $$p=5,\ q=17.$$

Ответ

а) $$p=11,\ q=5$$; б) $$p=11,\ q=3$$ или $$p=5,\ q=17$$.