Упр.1.4(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 1.4. Может ли произведение $$101$$ идущих подряд натуральных чисел не делиться: а) на $$51$$; б) на $$101$$; в) на $$606$$; г) на $$4386$$?

Произведение $$101$$ идущего подряд натурального числа можно записать так:

$$n(n+1)(n+2)\cdots(n+100).$$

Среди любых $$101$$ подряд идущих натуральных чисел обязательно найдутся:

• число, делящееся на $$101$$;
• число, делящееся на $$3$$;
• число, делящееся на $$2$$;
• число, делящееся на $$7$$;
• число, делящееся на $$13$$.

Значит, произведение делится на $$101$$, $$2$$, $$3$$, $$7$$ и $$13$$.

Проверим данные числа:

$$51=3\cdot 17,$$

$$101$$ — простое число,

$$606=2\cdot 3\cdot 101,$$

$$4386=2\cdot 3\cdot 7\cdot 13\cdot 17.$$

Так как произведение делится на $$2$$, $$3$$, $$7$$, $$13$$ и $$101$$, то оно делится на $$51$$, $$101$$, $$606$$ и $$4386$$.

Следовательно, такое произведение не может не делиться ни на одно из указанных чисел.

Ответ

а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.