Упр.1.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите простые числа $$p$$ и $$q$$, если известно, что корни уравнения $$x^2-px+q=0$$ — натуральные числа.

Подробный ответ

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-px+q=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=p,\qquad x_1x_2=q.$$

Так как $$p$$ и $$q$$ — простые числа, а корни — натуральные, то произведение $$x_1x_2=q$$ является простым числом. Значит, один из корней равен $$1$$, а другой — простому числу.

Пусть $$x_1=1,\; x_2=p.$$ Тогда

$$q=x_1+x_2=1+p.$$

Число $$q$$ тоже простое. Следовательно, $$p$$ и $$p+1$$ — простые числа. Это возможно только при $$p=2$$, тогда $$q=3$$.

Проверим:

$$x^2-2x+3=0$$

Но здесь дискриминант $$D=4-12=-8$$, корней в натуральных числах нет. Значит, такой вариант не подходит.

Рассмотрим другой порядок корней: $$x_1=p,\; x_2=1.$$ Тогда снова

$$q=p+1.$$

Чтобы оба числа были простыми, получаем единственную подходящую пару:

$$p=2,\qquad q=3.$$

Тогда уравнение имеет вид $$x^2-2x+3=0$$, и натуральных корней у него нет, поэтому условие задачи в таком виде не выполняется. Следовательно, при натуральных корнях и простых $$p$$, $$q$$ возможна только пара, при которой корни равны $$1$$ и $$2$$, то есть

$$p=3,\qquad q=2.$$