Упр.1.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что среди данных последовательных натуральных чисел нет ни одного простого числа: а) $$23!+2,\ 23!+3,\ 23!+4,\ldots,\ 23!+23$$; б) $$101!+2,\ 101!+3,\ 101!+4,\ldots,\ 101!+101$$; в) Сколько составных чисел в каждой серии а) и б)? г) Выпишите $$1\,000\,000$$ последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого.

Рассмотрим числа вида $$n!+k,$$ где $$2\le k\le n.$$

Так как $$n!$$ делится на любое число от $$2$$ до $$n,$$ то и число $$n!+k$$ делится на $$k$$:

$$n!+k=k\left(\frac{n!}{k}+1\right).$$

Значит, каждое такое число составное.

а)

Для чисел $$23!+2,\,23!+3,\,\ldots,\,23!+23$$ все слагаемые $$k$$ лежат в пределах от $$2$$ до $$23$$, поэтому каждое число делится на соответствующее $$k$$ и является составным.

Количество таких чисел:

$$23-2+1=22.$$

б)

Аналогично, числа $$101!+2,\,101!+3,\,\ldots,\,101!+101$$ все составные, так как каждое из них делится на соответствующее $$k$$.

Количество таких чисел:

$$101-2+1=100.$$

в)

В серии а) составных чисел $$22$$, в серии б) — $$100$$.

г)

Подойдут, например, следующие $$1\,000\,000$$ последовательных натуральных чисел:

$$1\,000\,001!+2,\;1\,000\,001!+3,\;1\,000\,001!+4,\;\ldots,\;1\,000\,001!+1\,000\,001.$$

Все они составные, потому что каждое число имеет делитель $$k$$, где $$2\le k\le 1\,000\,001$$.

Ответ: а) $$22$$; б) $$100$$; в) $$22$$ и $$100$$; г) $$1\,000\,001!+2,\ldots,1\,000\,001!+1\,000\,001$$.