Упр.1.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что: а) любое натуральное число либо взаимно просто с заданным простым числом $$p$$, либо делится на $$p$$; б) если произведение нескольких множителей делится на простое число $$p$$, то хотя бы один из множителей делится на $$p$$.

а) Пусть $$a \in \mathbb{N}$$ и $$p$$ — простое число.

Если $$a$$ и $$p$$ имеют общий делитель, отличный от $$1$$, то этот делитель должен быть равен $$p$$, так как у простого числа нет делителей, кроме $$1$$ и самого числа. Значит, $$p \mid a$$.

Если же $$a$$ и $$p$$ не имеют общих делителей, отличных от $$1$$, то они взаимно просты.

Следовательно, любое натуральное число либо взаимно просто с простым числом $$p$$, либо делится на $$p$$.

б) Пусть произведение $$a_1a_2\cdots a_n$$ делится на простое число $$p$$.

Предположим противное: ни один из множителей не делится на $$p$$. Тогда каждый из чисел $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ взаимно прост с $$p$$.

Но тогда и их произведение должно быть взаимно просто с $$p$$, а значит, не может делиться на $$p$$. Получаем противоречие.

Следовательно, хотя бы один из множителей $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ делится на $$p$$.

Ответ

а) Любое натуральное число либо взаимно просто с простым числом $$p$$, либо делится на $$p$$.
б) Если произведение нескольких множителей делится на простое число $$p$$, то хотя бы один из множителей делится на $$p$$.