Упр.1.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрите два предложения: а) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 3; б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 5. Докажите, что из этих утверждений верно только одно.

Верно утверждение а).

Доказательство

Пусть $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа.

Сначала докажем, что если $$m$$ и $$n$$ делятся на $$3$$, то и сумма их квадратов делится на $$3$$. Действительно, если

$$m=3k,\quad n=3l,$$

то

$$m^2+n^2=(3k)^2+(3l)^2=9k^2+9l^2=9(k^2+l^2),$$

значит, $$m^2+n^2$$ делится на $$3$$.

Докажем обратное. Если $$m^2+n^2$$ делится на $$3$$, то числа $$m$$ и $$n$$ тоже должны делиться на $$3$$. Действительно, если число не делится на $$3$$, то при делении на $$3$$ оно даёт остаток $$1$$ или $$2$$, а его квадрат даёт остаток $$1$$:

$$1^2 \equiv 1 \pmod 3,\qquad 2^2 \equiv 1 \pmod 3.$$

Следовательно, если хотя бы одно из чисел $$m$$ или $$n$$ не делится на $$3$$, то сумма $$m^2+n^2$$ при делении на $$3$$ даст остаток $$1$$ или $$2$$, но не $$0$$. Значит, при делимости $$m^2+n^2$$ на $$3$$ оба числа $$m$$ и $$n$$ делятся на $$3$$.

Итак, утверждение а) верно.

Теперь рассмотрим утверждение б). Оно неверно, так как можно привести контрпример:

$$m=2,\quad n=1.$$

Тогда

$$m^2+n^2=2^2+1^2=4+1=5,$$

то есть сумма квадратов делится на $$5$$, но ни $$2$$, ни $$1$$ на $$5$$ не делятся.

Следовательно, утверждение б) неверно.

Ответ: верно утверждение а).