Упр.1.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2;
   б) произведение трех идущих подряд натуральных чисел делится на 3 и на 6;
   в) произведение четырех идущих подряд натуральных чисел делится на 4, на 12 и на 24;
   г) произведение пяти идущих подряд натуральных чисел делится на 5, на 20 и на 120.

Пусть первое из данных подряд натуральных чисел равно $$n$$. Тогда остальные числа можно записать так: $$n+1,\; n+2,\; n+3,\; n+4.$$

а)

Среди двух подряд идущих натуральных чисел одно обязательно чётное, значит, произведение двух подряд идущих натуральных чисел делится на $$2$$:

$$n(n+1):2.$$

б)

Среди трёх подряд идущих натуральных чисел одно делится на $$3$$, а одно из двух соседних с ним чисел — чётное. Поэтому произведение трёх подряд идущих натуральных чисел делится на $$3$$ и на $$2$$, следовательно, делится на $$6$$:

$$n(n+1)(n+2):6.$$

в)

Среди четырёх подряд идущих натуральных чисел есть число, кратное $$4$$, и ещё как минимум одно чётное число. Кроме того, среди них есть число, кратное $$3$$. Значит, произведение делится на $$4$$, на $$12$$ и на $$24$$:

$$n(n+1)(n+2)(n+3):24,$$

а значит, оно делится и на $$12$$, и на $$4$$.

г)

Среди пяти подряд идущих натуральных чисел есть число, кратное $$5$$, число, кратное $$4$$, число, кратное $$3$$, и как минимум два чётных числа. Следовательно, произведение делится на $$5$$, на $$20$$ и на $$120$$:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4):120,$$

значит, оно делится и на $$20$$, и на $$5$$.

Ответ: а) делится на $$2$$; б) делится на $$3$$ и на $$6$$; в) делится на $$4$$, на $$12$$ и на $$24$$; г) делится на $$5$$, на $$20$$ и на $$120$$.