Упр.1.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим разность:

$$(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=(n^3-n)+3n(n+1).$$

Если $$n^3-n$$ делится на $$6$$, то оно делится и на $$2$$, и на $$3$$. Произведение $$n(n+1)$$ — произведение двух последовательных натуральных чисел, значит, оно делится на $$2$$. Тогда $$3n(n+1)$$ делится на $$6$$. Следовательно, сумма $$(n^3-n)+3n(n+1)$$ тоже делится на $$6$$.

Значит, $$(n+1)^3-(n+1)$$ делится на $$6$$.

б) Аналогично:

$$(n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+5n+5=(n^3+5n)+3n(n+1)+6.$$

Если $$n^3+5n$$ делится на $$6$$, то и $$3n(n+1)$$ делится на $$6$$, а число $$6$$, конечно, делится на $$6$$. Поэтому и $$(n+1)^3+5(n+1)$$ делится на $$6$$.

в) Имеем:

$$7^{n+1}+3(n+1)-1=7\cdot 7^n+3n+3-1=(7^n+3n-1)+6\cdot 7^n+3.$$

Так как $$6\cdot 7^n$$ делится на $$9$$ не всегда, удобнее преобразовать иначе:

$$7^{n+1}+3(n+1)-1=7\cdot 7^n+3n+2=(7^n+3n-1)+6\cdot 7^n+3.$$

Заметим, что $$7\equiv -2 \pmod 9$$, поэтому

$$7^{n+1}+3(n+1)-1 \equiv -2\cdot 7^n+3n+2 \pmod 9.$$

Из условия $$7^n+3n-1\equiv 0 \pmod 9$$ получаем

$$7^n\equiv 1-3n \pmod 9.$$

Тогда

$$7^{n+1}+3(n+1)-1 \equiv -2(1-3n)+3n+2=9n \equiv 0 \pmod 9.$$

Следовательно, делимость на $$9$$ сохраняется.

г) Рассмотрим:

$$3^{2n+4}-8(n+1)-9=9\cdot 3^{2n+2}-8n-8-9.$$

Тогда

$$3^{2n+4}-8(n+1)-9 =9\cdot 3^{2n+2}-8n-17 =(3^{2n+2}-8n-9)+8\cdot 3^{2n+2}-8.$$

Так как $$3^{2n+2}=9^{\,n+1}$$, то $$3^{2n+2}-1$$ делится на $$8$$, значит, и $$8\cdot 3^{2n+2}-8=8(3^{2n+2}-1)$$ делится на $$64$$. Поэтому из делимости $$3^{2n+2}-8n-9$$ на $$64$$ следует делимость на $$64$$ и числа $$3^{2n+4}-8(n+1)-9$$.

Ответ: во всех пунктах делимость сохраняется при переходе от $$n$$ к $$n+1$$.