Упр.1.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что произведение $$1\cdot2\cdot3\cdots13$$ делится на $$1+2+3+\cdots+13$$, а произведение $$1\cdot2\cdot3\cdots16$$ не делится на $$1+2+3+\cdots+16$$.

а) Разобьём сумму на пары:

$$1+2+3+\dots+13=(1+13)+(2+12)+\dots+(6+8)+7.$$

Тогда

$$1+2+3+\dots+13=14+14+\dots+14+7=14\cdot 6+7=7(2\cdot 6+1)=7\cdot 13.$$

Следовательно, сумма делится на $$13$$, а произведение $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 13$$ содержит множитель $$13$$, значит, оно делится на эту сумму.

б) Аналогично, разобьём сумму на пары:

$$1+2+3+\dots+16=(1+16)+(2+15)+\dots+(8+9).$$

Тогда

$$1+2+3+\dots+16=17+17+\dots+17=17\cdot 8.$$

Число $$17$$ — простое, и произведение $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 16$$ не содержит множителя $$17$$. Значит, оно не делится на сумму $$1+2+3+\dots+16$$.

Ответ

а) $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 13$$ делится на $$1+2+3+\dots+13$$.
б) $$1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 16$$ не делится на $$1+2+3+\dots+16$$.