Упр.1.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Существуют ли такие натуральные числа n и k, что последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю:

Рассмотрим последние цифры степеней.

Для числа $$627^n$$ последняя цифра совпадает с последней цифрой степени числа $$7$$. Последовательность последних цифр степеней числа $$7$$ такова:

$$7^1=7,\quad 7^2=49,\quad 7^3=343,\quad 7^4=2401.$$

Значит, последние цифры повторяются: $$7,\,9,\,3,\,1$$.

Для числа $$833^k$$ последняя цифра совпадает с последней цифрой степени числа $$3$$. Последовательность последних цифр степеней числа $$3$$ такова:

$$3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81.$$

Значит, последние цифры повторяются: $$3,\,9,\,7,\,1$$.

Чтобы разность $$627^n-833^k$$ оканчивалась на ноль, последние цифры этих чисел должны быть одинаковыми. Это возможно, например, при

$$n=2+4q,\quad k=2+4p,\quad q,p\in \mathbb{N}.$$

Следовательно, такие натуральные числа $$n$$ и $$k$$ существуют.

Ответ: существуют.